Tek Yönlü Varyans Analizi (Anova)

Varyans Analizi (ANOVA) Nedir ?

Varyans Analizi (ANOVA - Analysis of Variance), iki veya daha fazla grubun ortalamalarını karşılaştırarak grupların anakütle (popülasyon) ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek amacıyla kullanılan temel parametrik yöntemlerden biridir.

ANOVA'nın sınadığı sıfır hipotezi ( $H_0$ ), karşılaştırılan $k$ sayıdaki tüm grup ortalamalarının birbirine eşit olduğunu ifade eder:

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k

1. ANOVA'nın Temel Mantığı: İki Varyans Tahmini

ANOVA, isminin aksine doğrudan ortalamaları karşılaştırmak için iki farklı varyans tahmininin oranını inceler:

Grup İçi Varyans ( $MS_{wg}$ / Hata Varyansı): Her bir grubun kendi içindeki skorların grup ortalamasından sapmalarını ölçer ve verideki rastgele hata (error) miktarını temsil eder.
Gruplar Arası Varyans ( $MS_{bg}$ / Muamele Varyansı): Grup ortalamalarının genel ortalamadan (grand mean) sapmalarını ölçer. Bu varyans, rastgele hatanın yanı sıra gruplara uygulanan muamelelerin (faktör düzeylerinin) oluşturduğu gerçek etkileri de içerir.

Eğer gruplar arasında gerçek bir muamele etkisi yoksa, gruplar arası varyans ile grup içi varyans tahminen birbirine eşit olur ve oranları $1.00$ 'e yakın çıkar. Gruplar arası fark büyüdükçe bu oran artar ve $H_0$ hipotezi reddedilir.

2. Kareler Toplamının Ayrıştırılması (Sums of Squares)

İstatistikte Kareler Toplamı ( $SS$ ), varyans formülünün pay kısmını oluşturan ve verideki toplam değişkenliği temsil eden değerdir.

Bir gözlemin ( $Y_{ij}$ ) genel ortalamadan ( $GM$ ) olan toplam sapması, iki bileşenin toplamı şeklinde yazılabilir:

(Y_{ij} - GM) = (Y_{ij} - \bar{Y}_j) + (\bar{Y}_j - GM)

Burada:

$Y_{ij}$ : $j$ . gruptaki $i$ . bireyin skoru,
$\bar{Y}_j$ : $j$ . grubun ortalaması,
$GM$ : Bütün gözlemlerin genel ortalamasıdır (Grand Mean).

Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alınıp tüm gözlemler üzerinden toplandığında, çapraz çarpım terimleri birbirini götürür ve temel kareler toplamı eşitliği elde edilir:

\sum_i \sum_j (Y_{ij} - GM)^2 = \sum_i \sum_j (Y_{ij} - \bar{Y}_j)^2 + n \sum_j (\bar{Y}_j - GM)^2

Bu denklem sembolik olarak şu şekilde ifade edilir:

SS_{total} = SS_{wg} + SS_{bg}

Toplam Kareler Toplamı ( $SS_{total}$ ): Tüm skorların genel ortalamadan sapmalarının kareleri toplamıdır.
Grup İçi Kareler Toplamı ( $SS_{wg}$ ): Her skorun kendi grup ortalamasından sapmalarının kareleri toplamıdır (Hata Kareler Toplamı).
Gruplar Arası Kareler Toplamı ( $SS_{bg}$ ): Grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının kareleri toplamının denek sayısı ile çarpımıdır (Muamele Kareler Toplamı).

3. Serbestlik Dereceleri (Degrees of Freedom)

Serbestlik dereceleri de kareler toplamı ile aynı mantıkta ayrışır:

df_{total} = df_{wg} + df_{bg}

Eşitliğin bileşenleri şu şekildedir:

Toplam Serbestlik Derecesi: $df_{total} = N - 1$ ( $N$ : Toplam denek sayısı)
Grup İçi Serbestlik Derecesi: $df_{wg} = N - k$ ( $k$ : Grup sayısı)
Gruplar Arası Serbestlik Derecesi: $df_{bg} = k - 1$

4. Kareler Ortalaması (MS) ve $F$ -Testi Hesaplaması

Kareler toplamlarının ilgili serbestlik derecelerine bölünmesiyle varyans tahminleri olan Kareler Ortalamaları ( $MS$ ) elde edilir:

Gruplar Arası Kareler Ortalaması:
$MS_{bg} = \frac{SS_{bg}}{df_{bg}} = \frac{SS_{bg}}{k - 1}$
Grup İçi Kareler Ortalaması:
$MS_{wg} = \frac{SS_{wg}}{df_{wg}} = \frac{SS_{wg}}{N - k}$

Sıfır hipotezini sınamak için kullanılan $F$ -istatistiği ( $F$ -Oranı), gruplar arası kareler ortalamasının grup içi kareler ortalamasına bölünmesiyle hesaplanır:

F = \frac{MS_{bg}}{MS_{wg}}

Hesaplanan $F$ değeri, pay serbestlik derecesi ( $df_1 = k - 1$ ) ve payda serbestlik derecesi ( $df_2 = N - k$ ) ile seçilen anlamlılık düzeyindeki (örneğin $\alpha = 0.05$ ) kritik $F$ değeri ile karşılaştırılır. Hesaplanan $F > F_{kritik}$ ise $H_0$ hipotezi reddedilir.

5. Örnek Tek Yönlü ANOVA Tablosu

Hesaplanan tüm değerler standart bir ANOVA tablosunda şu şekilde özetlenir:

Varyans Kaynağı (Source)	Kareler Toplamı ( $SS$ )	Serbestlik Derecesi ( $df$ )	Kareler Ortalaması ( $MS$ )	$F$ Değeri
Gruplar Arası (Between Groups)	$SS_{bg}$	$k - 1$	$MS_{bg} = \frac{SS_{bg}}{k - 1}$	$F = \frac{MS_{bg}}{MS_{wg}}$
Grup İçi / Hata (Within Groups)	$SS_{wg}$	$N - k$	$MS_{wg} = \frac{SS_{wg}}{N - k}$
Toplam (Total)	$SS_{total}$	$N - 1$

6. Etki Büyüklüğü Hesaplamaları

Anlamlı bir $F$ testi elde edildikten sonra, bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin ne kadar güçlü olduğunu belirlemek için etki büyüklüğü ölçütleri hesaplanır:

Eta-Kare ( $\eta^2$ ): Örneklem düzeyinde bağımlı değişkendeki varyansın ne kadarının bağımsız değişken tarafından açıklandığını gösterir:
$\eta^2 = \frac{SS_{effect}}{SS_{total}}$
Omega-Kare ( $\omega^2$ ): Örneklem yanlılığını düzelterek evren düzeyindeki açıklanan varyans oranını tarafsız biçimde tahmin eden ölçüttür:
$\omega^2 = \frac{SS_{effect} - (df_{effect})(MS_{error})}{SS_{total} + MS_{error}}$

7. Diğer ANOVA Tasarımları

Faktöriyel ANOVA: Gruplar birden fazla bağımsız değişkene (faktöre) göre oluşturulduğunda kullanılır; hem her bir faktörün ana etkilerini (main effects) hem de faktörlerin etkileşimlerini (interactions) değerlendirir.
Tekrarlayan Ölçümler ANOVA (Within-Subjects): Aynı deneklerin farklı koşullarda veya zamanlarda tekrar tekrar ölçüldüğü tasarımlardır. Bireysel farklar ( $SS_{S}$ ) hatadan çıkarılarak testin gücü artırılır.